Matura rozszerzona - kurs - część 45 - zadania

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Krawędź boczna \(SD\) jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi \(ABS\) i \(CBS\) tego ostrosłupa.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie \(20\). Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCDEF\) (zobacz rysunek obok) jest równa \(6\). Punkt \(K\) dzieli krawędź boczną \(CF\) w stosunku \(2:3\). Pole przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy \(AB\) i punkt \(K\) jest równe \(15\sqrt{3}\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy równej \(4\). Graniastosłup przecięto płaszczyzną jak na rysunku. Otrzymano w ten sposób przekrój o polu równym \(48\sqrt{2}\). Oblicz objętość danego graniastosłupa.

Dany jest ostrosłup trójkątny \(ABCS\), w którym krawędź boczna \(AS\) jest jednocześnie wysokością ostrosłupa, a kąt między każdymi dwiema krawędziami bocznymi jest równy \(60^\circ \). Przez punkt \(D\) leżący na krawędzi \(AS\) poprowadzono płaszczyznę równoległą do płaszczyzny podstawy \(ABC\). Płaszczyzna ta przecięła krawędzie boczne \(BS\) i \(CS\) w punktach \(E\) i \(F\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(P_1\), a pole trójkąta \(DEF\) jest równe \(P_2\). Oblicz odległość między płaszczyznami \(ABC\) i \(DEF\).

Punkt \(S\) jest wierzchołkiem ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, a punkty \(E\), \(F\) są odpowiednio środkami krawędzi \(AB\) i \(CD\) jego podstawy. Krawędź podstawy i wysokość tego ostrosłupa mają taką samą długość równą \(1\). Płaszczyzna przechodząca przez punkty \(E\) i \(F\) przecina krawędzie boczne odpowiednio w punktach \(G\) oraz \(H\) (zobacz rysunek). Oblicz pole otrzymanego przekroju, wiedząc, że jest ono dwa razy większe od pola czworokąta \(BCGH\).

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) wysokość jest równa \(5\), a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę \(120^\circ \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.