Matura rozszerzona - kurs - część 35 - zadania

Czworokąt \(ABCD\) wpisany w okrąg \(S\) spełnia następujące warunki: \(|BD|=|DC|\), \(|AB|=4\), \(|AC|=6\), \(|AD|=5\). Oblicz długość promienia okręgu \(S\).

Na boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) obrano punkty \(D\) i \(E\) takie, że \(|AD|=|EB|=\frac{1}{4}|AB|\) (zobacz rysunek). Udowodnij, że \(|AC|^2+2|CE|^2=|BC|^2+2|CD|^2\).

W trójkącie \(ABC\) są dane \(|AB|=8\), \(|BC|=6\) oraz \(\sin \sphericalangle ABC=\frac{\sqrt{5}}{3}\). Oblicz stosunek promienia okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\) do promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Długości boków czworokąta \(ABCD\) są równe: \(|AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5\). Na czworokącie \(ABCD\) opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej \(AC\) tego czworokąta.