Matura rozszerzona - kurs - część 31 - zadania

Rysunek przedstawia trapez równoramienny \(ABCD\) opisany na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(r=\frac{\sqrt{91}}{2}\). Dolna podstawa trapezu jest o \(6\) dłuższa od górnej podstawy. Oblicz obwód trapezu \(ABCD\).

W trapez prostokątny \(ABCD\) wpisano okrąg o środku \(O\), który w punkcie \(P\) jest styczny do dłuższego ramienia \(BC\) tego trapezu (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli \(|BP|=p\) i \(|CP|=q\), to obwód trapezu jest równy \(2(\sqrt{p}+\sqrt{q})^2\).

Okrąg \(o_1\) jest opisany na czworokącie \(ABCD\), natomiast \(o_2\) jest opisany na czworokącie \(AFEC\) (zobacz rysunek). Punkty \(A\), \(B\), \(E\) są współliniowe i zachodzi równość \(|\sphericalangle BFE|=|\sphericalangle CDB|\). Udowodnij, że punkty \(F\), \(B\), \(C\) są współliniowe.

Wartość wyrażenia \(\sin (2\alpha -\beta )\) jest równa

Dwusieczne czworokąta \(ABCD\) wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) (zobacz rysunek). Wykaż, że na czworokącie \(PQRS\) można opisać okrąg.

Dany jest prostokąt \(ABCD\). Okrąg wpisany w trójkąt \(BCD\) jest styczny do przekątnej \(BD\) w punkcie \(N\). Okrąg wpisany w trójkąt \(ABD\) jest styczny do boku \(AD\) w punkcie \(M\), a środek \(S\) tego okręgu leży na odcinku \(MN\), jak na rysunku. Wykaż, że \(|MN|=|AD|\).