Poziom podstawowy
Cały kurs na:
http://www.matemaks.pl/matematyka-matura-podstawowa-kurs.html.
Kąt \(\alpha \) jest kątem ostrym oraz \(\cos \alpha =\frac{2}{3}\). Wykaż, że średnia arytmetyczna liczb: \(a=\sin \alpha \), \(b=\frac{1}{2}\) oraz \(c=\frac{\operatorname{tg} \alpha }{3}\) jest równa \(\frac{\sqrt{5}+1}{6}\).
Suma \(23\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) dla \(n\ge 1\) jest równa \(1564\). Oblicz średnią arytmetyczną wyrazów \(a_3\) i \(a_{21}\).
\(68\)
Zestaw danych: \(x_1,x_2,x_3,...,x_n\) ma średnią arytmetyczną \(a\) i odchylenie standardowe \(s\). Wykaż, że zestaw danych: \(\frac{x_1-a}{s}, \frac{x_2-a}{s}, \frac{x_3-a}{s},...,\frac{x_n-a}{s}\) ma średnią arytmetyczną \(0\).
Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: \(31, 16, 25, 29, 27, x\), jest równa \(\frac{x}{2}\). Mediana tych liczb jest równa
A.\( 26 \)
B.\( 27 \)
C.\( 28 \)
D.\( 29 \)
C
W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat.
| kolejne lata | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| przyrost (w cm) | 10 | 10 | 7 | 8 | 8 | 7 |
Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do \(1\) cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.
\(4\%\)
Średnia arytmetyczna czterech liczb: \(x−1,\ 3x,\ 5x+1\) i \(7x\) jest równa \(72\). Wynika stąd, że
A.\( x=9 \)
B.\( x=10 \)
C.\( x=17 \)
D.\( x=18 \)
D
Jeżeli do zestawu czterech danych: \(4, 7, 8, x\) dołączymy liczbę \(2\), to średnia arytmetyczna wzrośnie o \(2\). Zatem
A.\( x=-51 \)
B.\( x=-6 \)
C.\( x=10 \)
D.\( x=29 \)
A
W pięciu kolejnych rzutach kostką do gry otrzymano następujące wyniki: \(6, 3, 5, 5, 6\). Odchylenie standardowe tych wyników jest równe
A.\( \frac{\sqrt{6}}{5} \)
B.\( \frac{\sqrt{30}}{5} \)
C.\( \frac{6}{5} \)
D.\(5\)
B
Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III.
| Oceny | \(6\) | \(5\) | \(4\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) |
| Liczba uczniów | \(1\) | \(2\) | \(6\) | \(5\) | \(9\) | \(2\) |
Oblicz średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen.
\(\overline{x}=3 \), \(\sigma ^2=1{,}6\)
Czworo przyjaciół ma wzrost równy odpowiednio \(140\) cm, \(150\) cm \(160\) cm i \(130\) cm. Oblicz odchylenie standardowe od średniej wzrostu.
\[\sigma=\frac{10\sqrt{5}}{2}\]
Najpierw liczymy średnią arytmetyczną: \[\overline{X}=\frac{140+150+160+130}{4}=\frac{580}{4}=145\] Zatem wariancja jest równa: \[\sigma^2=\frac{(140-145)^2+(150-145)^2+(160-145)^2+(130-145)^2}{4}=\frac{25+25+225+225}{4}=\frac{500}{4}\] Czyli odchylenie standardowe wynosi: \[\sigma=\sqrt{\frac{500}{4}}=\frac{\sqrt{100\cdot 5}}{2}=\frac{10\sqrt{5}}{2}\]
Wykonano pomiary wysokości czterech krzeseł i każde dwa rezultaty były różne. Adam zapisał wyniki w metrach i odchylenie standardowe jego danych było równe \(\sigma _A\). Bogdan zapisał te wyniki w centymetrach i odchylenie standardowe jego danych było równe \(\sigma _B\). Wynika stąd, że
A.\( \sigma _A=10\sigma _B \)
B.\( \sigma _A = 100\sigma _B \)
C.\( 10\sigma _A=\sigma _B \)
D.\( 100\sigma _A=\sigma _B \)
D
Adam otrzymał z trzech kolejnych klasówek następujące oceny: \(6\), \(4\), \(4\). Oblicz, jaką ocenę otrzymał Adam z czwartej klasówki, jeżeli odchylenie standardowe otrzymanych ocen jest równe \(\sqrt{\frac{11}{16}}\).
\(5\)