Poziom podstawowy
Cały kurs na:
http://www.matemaks.pl/matematyka-matura-podstawowa-kurs.html.
Kąty ostre \(\alpha \) i \(\beta \) trójkąta prostokątnego spełniają warunek \(\sin^{2} \alpha +\sin^{2}\beta +\operatorname{tg}^{2}\alpha =4\) . Wyznacz miarę kąta \(\alpha \).
\(\alpha =60^\circ \)
Wartość wyrażenia \(\sin^{2} 23^\circ +\sin^{2} 67^\circ \) jest równa:
A.\( 2\sin^{2} 23^\circ \)
B.\( 2\sin^{2} 67^\circ \)
C.\( 1 \)
D.\( 0 \)
C
Oblicz wartość wyrażenia \(\operatorname{tg}^2\alpha -3\cos ^2\alpha \), jeżeli \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\) i \(\alpha \) jest kątem ostrym.
\(2\frac{1}{4}\)
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz \(3 + 2\operatorname{tg}^2\alpha \).
\(3\frac{2}{15}\)
Uzasadnij, że jeżeli \(\alpha\) jest kątem ostrym, to \(\sin^4\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^4\alpha\).
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość \(a\). Kąt ostry przy tym boku ma miarę \(\alpha \). Wykaż, że \(\sin \alpha +\cos \alpha >1\).
Kąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(\sin \alpha =\cos 47^\circ \). Wtedy miara kąta \(\alpha \) jest równa.
A.\( 6^\circ \)
B.\( 33^\circ \)
C.\( 47^\circ \)
D.\( 43^\circ \)
D
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\cos \alpha \cdot \sin \alpha \).
\(\frac{1}{2}\)
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\). Wartość wyrażenia
\(\cos^2\alpha -2\) jest równa
A.\( -\frac{7}{4} \)
B.\( -\frac{1}{4} \)
C.\( \frac{1}{2} \)
D.\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
A
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha \).
\(0\)
Kąt \(\alpha \) jest ostry i
\(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\). Wtedy wartość wyrażenia
\(2cos^2\alpha -1\) jest równa
A.\( 0 \)
B.\( \frac{1}{3} \)
C.\( \frac{5}{9} \)
D.\( 1 \)
B
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =2\). Oblicz \(\frac{\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }\).
\(\frac{1}{3}\)
Dla każdego kąta ostrego \(\alpha \) wyrażenie
\(\sin^{2} \alpha +\sin^{2} \alpha \cdot \cos^{2}\alpha + \cos^{4}\alpha\) jest równe
A.\( 2\sin^{2} \alpha \)
B.\( 2\cos^{2}\alpha \)
C.\( 1 \)
D.\( 2 \)
C
Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{3}\). Wartość wyrażenia
\(1+\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha \) jest równa
A.\( \frac{4}{3} \)
B.\( \frac{11}{9} \)
C.\( \frac{17}{9} \)
D.\( \frac{11}{3} \)
A
Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}\). Oblicz wartość wyrażenia \(2+\sin^3\!\alpha +\sin\alpha \cdot \cos^2\!\alpha\).
\(2\frac{3}{4}\)
Jeżeli \( \alpha \) jest kątem ostrym oraz \( \operatorname{tg}{\alpha }=\frac{2}{5} \), to wartość wyrażenia \( \frac{3\cos{\alpha }-2\sin{\alpha }}{\sin{\alpha }-5\cos{\alpha }} \) jest równa
A.\(-\frac{11}{23} \)
B.\(\frac{24}{5} \)
C.\(-\frac{23}{11} \)
D.\(\frac{5}{24} \)
A
Kąt \( \alpha \) jest ostry oraz \( \frac{4}{\sin^2\!{\alpha }}+\frac{4}{\cos^2\!{\alpha }}=25 \). Oblicz wartość wyrażenia \( \sin{\alpha }\cdot \cos{\alpha } \).
\(\frac{2}{5}\)
Jeżeli kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{3}{4}\), to \(\frac{2-\cos \alpha }{2+\cos \alpha }\) równa się
A.\( -1 \)
B.\( -\frac{1}{3} \)
C.\( \frac{3}{7} \)
D.\( \frac{84}{25} \)
C
Jeżeli \(0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =2\sin \alpha \), to
A.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2} \)
B.\( \cos \alpha =\frac{1}{2} \)
C.\( \cos \alpha =1 \)
D.\( \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2} \)
B
Kąt \(\alpha \) jest ostry i spełnia równość \(\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{7}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).
\(\frac{2}{7}\)