Matura 2022 maj PR

Liczba \(\log_3\sqrt{27}-\log_{27}\sqrt{3}\) jest równa

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x^3-8}{x-2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\ne 2\). Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu \(x=\frac{1}{2}\) jest równa

Jeżeli \(\cos \beta =-\frac{1}{3}\) i \(\beta \in \left(\pi ,\frac{3}{2}\pi \right)\), to wartość wyrażenia \(\sin \left(\beta -\frac{1}{3}\pi \right)\) jest równa

Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne.
Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku - jedną kulę z drugiej urny.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) wzorem \(a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}\), gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią.
Oblicz wartość \(p\), dla której granica ciągu \(a_n\) jest równa \(\frac{4}{3}\). W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x\gt y\), spełniona jest nierówność \[7x^3+4x^2y\ge y^3+2xy^2-x^3\]

Rozwiąż równanie: \[|x-3|=2x+11\]

Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o \(2\) mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o \(3\) mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|DP|^2+|CP|^2-|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|\).

Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)x-2m\) przez dwumian \(x+2\) jest równa \((−30)\). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x)\ge 0\).

Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto \(a_1 = 675\) i \(a_{22} =\frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21}\).
Ciąg \((b_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest arytmetyczny.
Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((b_n)\). Ponadto \(a_3=b_4\). Oblicz \(b_1\).

Rozwiąż równanie \(\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0\) w przedziale \(\langle0,\pi \rangle \).

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \[x^2-(m+1)x+m=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \[x_1\ne 0,\ \ x_2\ne 0 \ \ \text{oraz}\ \ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\]

Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\) o podstawie prostokątnej \(ABCD\). Przekątne \(AH\) i \(AF\) ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze \(\alpha \) takiej, że \(\sin \alpha =\frac{12}{13}\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(AFH\) jest równe \(26{,}4\). Oblicz wysokość \(h\) tego graniastosłupa.

Punkt \(A = (−3, 2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\). Pole tego trójkąta jest równe \(15\). Bok \(BC\) zawarty jest w prostej o równaniu \(y = x − 1\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym \(18\).