Matura 2021 sierpień

Drukuj

Poziom podstawowy

Na tej stronie umieściłem rozwiązania zadań z matury poprawkowej z 24 sierpnia 2021.

Szybka nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 35 .

Liczba \(9^{-10}\cdot 3^{19}\) jest równa

A.\( 27^9 \)

B.\( 9^{-2} \)

C.\( 3^{10} \)

D.\( 3^{-1} \)

Liczba \(\log_69+2\log_62\) jest równa

A.\( \log_6\frac{9}{4} \)

B.\( 1 \)

C.\( 2 \)

D.\( \log_6\frac{81}{2} \)

Liczba \(x\) stanowi \(80\%\) liczby dodatniej \(y\). Wynika stąd, że liczba \(y\) to

A.\( 125\% \) liczby \(x\).

B.\( 120\% \) liczby \(x\).

C.\( 25\% \) liczby \(x\).

D.\( 20\% \) liczby \(x\).

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i każdej liczby rzeczywistej \(y\) wyrażenie \((3x+8y)^2\) jest równe

A.\( 9x^2+48xy+64y^2 \)

B.\( 9x^2+64y^2 \)

C.\( 3x^2+48xy+8y^2 \)

D.\( 3x^2+8y^2 \)

Liczba \((-2)\) jest rozwiązaniem równania

A.\( x^2+4=0 \)

B.\( \frac{x+2}{2}=1 \)

C.\( \frac{x}{x+2}=0 \)

D.\( x^2(x+2)+2(x+2)=0 \)

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(5-\frac{2-6x}{4}\ge2x+1\) jest przedział

A.\( (-\infty,1\rangle \)

B.\( \langle 1, +\infty ) \)

C.\( (-\infty,7\rangle \)

D.\( \langle 7, +\infty ) \)

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2x+4\). Wykres funkcji \(f\) przesunięto wzdłuż osi \(Ox\) o \(2\) jednostki w lewo (tzn. przeciwnie do zwrotu osi), w wyniku czego otrzymano wykres funkcji \(g\). Funkcja \(g\) jest określona wzorem

A.\( g(x)=-2x+2 \)

B.\( g(x)=-2x \)

C.\( g(x)=-2x+6 \)

D.\( g(x)=-2x+8 \)

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=ax+4\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba \((-1)\). Wtedy

A.\( a=-4 \)

B.\( a=1 \)

C.\( a=4 \)

D.\( a=5 \)

Prosta \(k\) przechodzi przez punkt \(A=(2,-3)\) i jest nachylona do osi \(Ox\) pod kątem \(45^\circ \) (zobacz rysunek).

Prosta \(k\) ma równanie

A.\( y=x-5 \)

B.\( y=-x-1 \)

C.\( y=-x+5 \)

D.\( y=x+5 \)

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-2(x+3)(x-5)\). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), ma współrzędną \(x\) równą

A.\( (-3) \)

B.\( (-1) \)

C.\( 1 \)

D.\( 5 \)

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-x^2+4\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział

A.\( (-\infty, -2\rangle \)

B.\( \langle 2, +\infty) \)

C.\( \langle -4, +\infty) \)

D.\( (-\infty, 4\rangle \)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\).

Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji \(f\).

A.\( f(x)=x^2-6x+11 \)

B.\( f(x)=-x^2+x+2 \)

C.\( f(x)=x^2-6x-7 \)

D.\( f(x)=-x^2+6x-7 \)

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Różnica tego ciągu jest równa \(2\). Wtedy

A.\( a_{24}-a_6=16 \)

B.\( a_{24}-a_6=20 \)

C.\( a_{24}-a_6=36 \)

D.\( a_{24}-a_6=38 \)

Suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich parzystych i jednocześnie mniejszych od \(1001\) jest równa

A.\( \frac{2+998}{2}\cdot 499 \)

B.\( \frac{2+1000}{2}\cdot 500\)

C.\( \frac{2+1001}{2}\cdot 500\)

D.\( \frac{1+1001}{2}\cdot 1001\)

Trójwyrazowy ciąg \((2,x,18)\) jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wtedy

A.\( x=16 \)

B.\( x=10 \)

C.\( x=6 \)

D.\( x=9 \)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha=\frac{7}{25}\). Wynika stąd, że

A.\( \cos \alpha=\frac{576}{625} \)

B.\( \cos \alpha=\frac{24}{25} \)

C.\( \cos \alpha=-\sqrt{\frac{24}{25}} \)

D.\( \cos \alpha=\frac{18}{25} \)

Czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg o środku \(S\). Bok \(AD\) jest średnicą tego okręgu, a miara kąta \(BDC\) jest równa \(20^\circ \) (zobacz rysunek).

Wtedy miara kąta \(BSC\) jest równa

A.\( 10^\circ \)

B.\( 20^\circ \)

C.\( 30^\circ \)

D.\( 40^\circ \)

Okrąg o środku w punkcie \(O\) jest wpisany w trójkąt \(ABC\). Wiadomo, że \(|AB|=|AC|\) i \(|\sphericalangle BOC|=100^\circ \) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(BAC\) jest równa

A.\( 20^\circ \)

B.\( 30^\circ \)

C.\( 40^\circ \)

D.\( 50^\circ \)

Punkty \(A, B, C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Cięciwy \(DB\) i \(AC\) przecinają się w punkcie \(E\), \(|\sphericalangle ACB|=55^\circ \) oraz \(|\sphericalangle AEB|=140^\circ \) (zobacz rysunek).

Miara kąta \(DAC\) jest równa

A.\( 45^\circ \)

B.\( 55^\circ \)

C.\( 70^\circ \)

D.\( 85^\circ \)

Przekątna \(AC\) prostokąta \(ABCD\) ma długość \(70\). Na boku \(AB\) obrano punkt \(E\), na przekątnej \(AC\) obrano punkt \(F\), a na boku \(AD\) obrano punkt \(G\) - tak, że czworokąt \(AEFG\) jest prostokątem (zobacz rysunek). Ponadto \(|EF|=30\) i \(|GF|=40\).

Obwód prostokąta \(ABCD\) jest równy:

A.\( 158 \)

B.\( 196 \)

C.\( 336 \)

D.\( 490 \)

W układzie współrzędnych dane są dwa punkty \(A=(1,−2)\) oraz \(B=(3,1)\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy:

A.\( \left(-\frac{3}{2}\right) \)

B.\( \left(-\frac{2}{3}\right) \)

C.\( \frac{2}{3} \)

D.\( \frac{3}{2} \)

Prosta \(k\) ma równanie \(y=−\frac{4}{7}x+24\). Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej \(k\) jest równy:

A.\( \frac{7}{4} \)

B.\( \left(-\frac{7}{4}\right) \)

C.\( \left(-\frac{4}{7}\right) \)

D.\( \frac{4}{7} \)

Punkty \(A=(3,7)\) i \(C=(−4,6)\) są końcami przekątnej kwadratu \(ABCD\). Promień okręgu opisanego na tym kwadracie jest równy:

A.\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

B.\( \frac{5}{2} \)

C.\( \frac{5\sqrt{2}}{2} \)

D.\( 5 \)

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą \(2\) (zobacz rysunek).

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

A.\( 24+2\sqrt{3} \)

B.\( 24+6\sqrt{3} \)

C.\( 24+12\sqrt{3} \)

D.\( 24+24\sqrt{3} \)

Przekątna sześcianu jest równa \(6\). Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa

A.\( 24\sqrt{3} \)

B.\( 72 \)

C.\( 54\sqrt{2} \)

D.\( 648\sqrt{3} \)

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych jest

A.\( 9\cdot 2\cdot 10^3 \)

B.\( 9\cdot 5\cdot 10^3 \)

C.\( 5\cdot 10^4 \)

D.\( 4\cdot 10^5 \)

W pudełku znajdują się tylko kule białe i kule czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy \(3:4\). Wylosowanie każdej kuli z tego pudełka jest jednakowo prawdopodobne. Losujemy jedną kulę. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowana z pudełka kula będzie biała. Prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) jest równe

A.\( \frac{1}{4} \)

B.\( \frac{1}{3} \)

C.\( \frac{3}{7} \)

D.\( \frac{3}{4} \)

Średnia arytmetyczna pięciu liczb: \(5x+6,\ 6x+7,\ 7x+8,\ 8x+9,\ 9x+10\), jest równa \(8\). Wtedy \(x\) jest równe

A.\( (-35) \)

B.\( 0 \)

C.\( 0{,}35 \)

D.\( 35 \)

Rozwiąż nierówność \(x^2−5 \ge 4x\).

\(x\in (-\infty ,-1\rangle \cup \langle 5,+\infty )\)

Rozwiąż równanie \(\frac{x+8}{x-7}=2x\).

\(x=-\frac{1}{2}\) lub \(x=8\)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) spełniona jest nierówność \(b(5b-4a)+a^2\ge0\).

W trójkącie \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(A\) jest prosty, a kąt przy wierzchołku \(B\) ma miarę \(30^\circ \). Na boku \(AB\) tego trójkąta obrano punkt \(D\) tak, że miara kąta \(CDA\) jest równa \(60^\circ \) oraz \(|AD|=6\) (zobacz rysunek). Oblicz \(|BD|\).

\(12\)

Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) tego trapezu przecinają się w punkcie \(S\) (zobacz rysunek) tak, że \(\frac{|AS|}{|SC|}=\frac{3}{2}\). Pole trójkąta \(ABS\) jest równe \(12\). Oblicz pole trójkąta \(CDS\).

\(\frac{16}{3}\)

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu oczek. Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn liczb oczek wyrzuconych w dwóch rzutach jest równy \(12\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

\(\frac{1}{9}\)

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=\frac{5-3n}{7}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Trójwyrazowy ciąg \((a_4, x^2+2,a_{11})\), gdzie \(x\) jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz \(x\) oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.

\(x=0\), \(q=-2\)