Matura 2018 listopad

Wynikiem działania \(49^{-6}:7^{-15}\) jest:

Wyrażenie \(\log_3(\log 30-\log 3)\) jest równe:

Liczbą odwrotną do liczby \(\frac{\sqrt{6}-3}{3}\) jest:

Urząd skarbowy został zobowiązany do zwrotu podatku w wysokości \(235{,}40\) zł. Kwotę tę zaokrąglono do pełnych dziesiątek złotych. Błąd względny tego zaokrąglenia wyrażony w procentach wyniósł około:

Liczba \(2-2(\sqrt{3}-1)^2\):

Nierówność \(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}x\lt \frac{1}{6}\) jest równoważna nierówności:

Liczba różnych rozwiązań równania \(\frac{3x(x^2-9)}{x-3}=0\) wynosi:

Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji \(f\). Maksymalny przedział, w którym funkcja \(f\) jest rosnąca, to:

Wykres funkcji liniowej \(f(x)=\frac{8-3x}{2}\) przecina osie układu współrzędnych w punktach \(A\) i \(B\). Pole trójkąta \(ABO\), w którym punkt \(O\) jest początkiem układu współrzędnych, wynosi:

Zbiorem wartości funkcji \(f(x)=-(x+7)(x-3)\) jest:

Wykres funkcji \(f(x)=-3^x\) przesunięto równolegle wzdłuż osi \(OX\) o dwie jednostki w prawo i otrzymano wykres funkcji \(y=g(x)\). Wówczas:

Dodatnich wyrazów ciągu określonego wzorem \(a_n=-2n+2018\) dla \(n\ge 1\) jest:

Sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((4, 6, 9,...)\) można obliczyć ze wzoru:

W pewnym ciągu arytmetycznym suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa \(5\frac{1}{2}\), a suma trzech pierwszych wyrazów jest równa \(12\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

Dla pewnego kąta wypukłego \(\alpha\) mamy \(\operatorname{tg} \frac{\alpha }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Kąt \(\alpha \) ma miarę:

Wysokość rombu jest równa \(12\), a jego pole jest równe \(180\). Sinus kąta ostrego rombu wynosi:

Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) należą do okręgu o środku w punkcie \(O\) (patrz rys.). Suma \(\alpha +\beta \) wynosi:

Obserwowana w laboratorium populacja bakterii podwaja swoją liczebność co \(20\) minut. Początkowa liczba bakterii wynosiła \(K\) sztuk. Oznacza to, że po upływie \(n\) godzin liczebność populacji wyniesie:

Przeciwległe wierzchołki kwadratu mają współrzędne \(A=(1,-3)\) i \(C=(-5,3)\). Bok kwadratu ma długość:

Ilość wszystkich liczb czterocyfrowych, w których cyfry się nie powtarzają, wynosi:

Rzucono trzy razy monetą symetryczną. Prawdopodobieństwo uzyskania jednej reszki wynosi:

Średnia arytmetyczna zestawu liczb \(5, 8, 1, 3, x, 8 \) wynosi \(6\). Mediana tego zestawu jest równa:

Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej \(4\). Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną \(BD\) podstawy i wierzchołek \(C’\). Otrzymany przekrój jest trójkątem, którego wysokość poprowadzona z wierzchołka \(C’\) jest równa \(12\). Wysokość graniastosłupa jest równa:

Kula o promieniu \(6\) cm i walec o wysokości równej \(4{,}5\) cm mają równe objętości. Średnica podstawy walca ma długość:

Rozwiąż nierówność \((2x-5)(3-x) \gt -66\).

W trapezie \(ABCD\) przekątne przecinają się w punkcie \(P\). Punkt \(P\) dzieli przekątne na odcinki długości: \(|AP|=8\), \(|PC|=3\) i \(|BP|=12\). Długości podstaw \(AB\) i \(CD\) trapezu różnią się o \(15\). Oblicz długość odcinka \(DP\) oraz długości podstaw \(AB\) i \(CD\) trapezu.

Wykaż, że jeżeli liczby \(a\) i \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi, to liczba \(\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2\) jest podzielna przez \(4\).

Wiedząc, że kąt \(\alpha\) jest rozwarty oraz \(\sin^{2} \alpha =\frac{9}{25}\), oblicz \(\operatorname{tg} \alpha \).

Dana jest funkcja \(f(x)=-3x^2+bx+c\) dla \(x\in \mathbb{R} \). Prosta o równaniu \(x=2\) jest osią symetrii paraboli będącej jej wykresem, a zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \((-\infty ;21\rangle \). Wyznacz współczynniki \(b\) i \(c\).

Do okręgu o środku w punkcie \(O\) poprowadzono z trzech punktów \(A\), \(B\) i \(C\) leżących na okręgu styczne, które przecięły się w punktach \(D\), \(E\) i \(F\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli \(|AF|=x\), to obwód trójkąta \(DEF\) jest równy \(2x\).

Spośród wszystkich wierzchołków sześciokąta foremnego o krawędzi \(1\) losujemy dowolne dwa. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowane wierzchołki utworzą odcinek, którego długość jest liczbą niewymierną.

Dany jest skończony, pięciowyrazowy ciąg \((4a-5; a; b; b+2; 9)\). Trzy pierwsze wyrazy tego ciągu są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a trzy ostatnie są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(a\) i \(b\).

Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(A=(-9,8)\). Bok \(BC\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=-2x+38\). Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(B\) ma równanie \(3x+2y-61=0\). Wyznacz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) oraz napisz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka \(C\).

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od wysokości ostrosłupa. Krawędź podstawy ma długość \(12\). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.