Poziom rozszerzony
Zadanie 1. (2 pkt)
Oblicz \(\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2\).
Odpowiedź: \(2\)
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 2. (1 pkt)
Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem \(a_n=\frac{(n^2-10n)(2-3n)}{2n^3+n^2+3}\) dla \(n\ge 1\). Wtedy
A.\( \lim_{n \to \infty} a_n=\frac{1}{2} \)
B.\( \lim_{n \to \infty} a_n=0 \)
C.\( \lim_{n \to \infty} a_n=-\infty \)
D.\( \lim_{n \to \infty} a_n=-\frac{3}{2} \)
Odpowiedź: D
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 3. (1 pkt) Geometria - ogólne wskazówki
Odcinek \(CD\) jest wysokością trójkąta \(ABC\), w któym \(|AD|=|CD|=\frac{1}{2}|BC|\) (zobacz rysunek). Okrąg o środku \(C\) i promieniu \(CD\) jest styczny do prostej \(AB\). Okrąg ten przecina boki \(AC\) i \(BC\) trójkąta odpowiednio w punktach \(K\) i \(L\).

Zaznaczony na rysunku kąt \(\alpha \) wpisany w okrąg jest równy
A.\( 37{,}5^\circ \)
B.\( 45^\circ \)
C.\( 52{,}5^\circ \)
D.\( 60^\circ \)
Odpowiedź: C
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 4. (1 pkt)
Dane są punkt \(B=(-4,7)\) i wektor \(\vec{u}=[-3,5]\). Punkt \(A\), taki, że \(\vec{AB}=-3\vec{u}\), ma współrzędne
A.\( A=(5,-8) \)
B.\( A=(-13,22) \)
C.\( A=(9,-15) \)
D.\( A=(12,24) \)
Odpowiedź: B
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 5. (2 pkt)
Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=x^3-2x^2+ax+\frac{3}{4}\) przez dwumian \(x-2\) jest równa \(1\). Oblicz wartość współczynnika \(a\).
W poniższe kratki wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 6. (3 pkt)
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie \(P=(1,0)\).
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 7. (3 pkt)
Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność: \[x^2y^2+2x^2+2y^2-8xy+4\gt 0\]
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 8. (3 pkt)
W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(c\), długość boku \(BC\) jest równa \(a\) oraz \(|\sphericalangle ABC|=\beta \). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) trójkąta w punkcie \(E\). Wykaż, że długość odcinka \(BE\) jest równa \(\frac{2ac \cdot \cos \frac{\beta }{2}}{a+c}\).
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 9. (4 pkt)
W czworościanie, którego wszystkie krawędzie maja taką samą długość \(6\), umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna \(\pi\), równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej \(\frac{8}{27}\) objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka \(S\) kuli od płaszczyzny \(\pi\), tj. długość najkrótszego spośród odcinków \(SP\), gdzie \(P\) jest punktem płaszczyzny \(\pi\).
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 10. (4 pkt)
Rozwiąż równanie \(\cos 2x+3\cos x=-2\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle \).
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 11. (4 pkt)
W pudełku znajduje się \(8\) piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od \(1\) do \(8\). Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez \(4\). Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 12. (5 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równianie \[4x^2-6mx+(2m+3)(m-3)=0\] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\), przy czym \(x_1\lt x_2\), spełniające warunek \[(4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)\lt 0 .\]
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 13. (5 pkt)
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(-5,3)\) i \(B=(0,6)\), którego środek leży na prostej o równaniu \(x-3y+1=0\).
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 14. (6 pkt)
Liczby \(a, b, c\) są - odpowiednio - pierwszym drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa \(27\). Ciąg \((a-2,b,2c+1)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\).
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.
Zadanie 15. (7 pkt)
Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej \(P\). Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.
Odpowiedź: \(r=\sqrt{\frac{P}{6\pi}}\), \(h=2\sqrt{\frac{P}{6\pi}}\), \(V_{max}=\frac{P\sqrt{\frac{P}{6\pi}}}{3}\)
Opcja dostępna tylko dla
zalogowanych użytkowników.
Można tutaj ocenić swoją wiedzę w tym materiale.
W zależności od wybranej oceny materiał zostanie zaliczony lub zostaną zaplanowane powtórki.