Poziom rozszerzony
Równanie \((x^2+2x-3)(x^2+x-m)=0\) ma cztery różne rozwiązania. Zatem zbiór wszystkich liczb \(m\) to:
A.\( \left \langle -\frac{1}{4},+\infty \right ) \)
B.\( \left ( -\frac{1}{4},+\infty \right )\backslash \{2,6\} \)
C.\( \left ( -\frac{1}{4},+\infty \right )\backslash \{-2,6\} \)
D.\( \left ( -\frac{1}{4},+\infty \right ) \)
Dla jakiego parametru \(m\) równanie ma cztery różne rozwiązania rzeczywiste?
B
Liczbę naturalną \(n\) można zapisać w postaci \(n=x^4y^2\), gdzie \(x, y\), są liczbami pierwszymi. Zatem liczba różnych dzielników naturalnych liczby \(n\) jest równa:
A.\( 15 \)
B.\( 13 \)
C.\( 10 \)
D.\( 8 \)
A
Liczba rozwiązań równania \(\sqrt{(2x^2+1)^2}=3\) jest równa:
A.\( 1 \)
B.\( 2 \)
C.\( 3 \)
D.\( 4 \)
B
Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \((x-1)\) jest równa \(4\), a reszta z dzielenia tego wielomianu przez \((x+3)\) jest równa \((-16)\). Wynika stąd, że reszta z dzielenia tego wielomianu przez \((x-1)\cdot (x+3)\) jest równa:
A.\( 5x+1 \)
B.\( -5x+1 \)
C.\( 5x-1 \)
D.\( -5x-1 \)
C
Jeśli w ostrosłupie czworokątnym podstawą jest kwadrat i jedna z krawędzi bocznych o długości boku tego kwadratu jest prostopadła do płaszczyzny podstawy ostrosłupa, to cosinus kąta między ścianami bocznymi nieprostopadłymi do płaszczyzny podstawy jest równy:
A.\( -\frac{1}{3} \)
B.\( \frac{1}{3} \)
C.\( \frac{1}{2} \)
D.\( -\frac{1}{2} \)
D
Liczby rzeczywiste \(x, y\), spełniają równanie \(2x+y-5=0\). Oblicz najmniejszą wartość wyrażenia \(W=8x^3+y^3\). Zakoduj cyfrę dziesiątek, jedności i początkową cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
\(31{,}25\)
Dany jest trapez \(ABCD\) opisany na okręgu. Środkowa trapezu ma długość \(\frac{2}{13}\). Oblicz obwód trapezu. Zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
\(\frac{8}{13}=0{,}61538...\)
Dany jest okrąg o równaniu \(x^2+y^2-14x+6y+54=0\). Prosta \(l\) o równaniu \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{11}{4}\) przecina ten okrąg w punktach \(A, B\). Oblicz długość cięciwy \(AB\). Zakoduj cyfrę jedności i dwie początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
\(|AB|=\frac{8\sqrt{6}}{5}=3,919...\)
Wykaż, że nie istnieje styczna do hiperboli o równaniu \(y=\frac{4x}{x-3}\) prostopadła do prostej \(l\) o równaniu \(2x+4y-1=0\).
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=\frac{2x}{x^2+4}\). Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
\(ZW=\left\langle -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right\rangle \)
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) zbieżny o pierwszym wyrazie dodatnim. Wykaż, że suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych jest większa lub równa od czterokrotności trzeciego wyrazu ciągu \((a_n)\).
Rozwiąż nierówność \(4\cos^{2} 2x-3\lt 0\) dla \(x\in \langle 0,2\pi \rangle \).
\(x\in \left( \frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\right)\cup \left( \frac{7\pi }{12},\frac{11\pi }{12}\right)\cup \left( \frac{13\pi }{12},\frac{17\pi }{12}\right)\cup \left( \frac{19\pi }{12},\frac{23\pi }{12}\right) \)
Wyznacz liczbę dwudziestocyfrowych liczb, których suma cyfr jest równa \(4\).
\(1540\)
Dane są punkty: \(A=(-1,-2), B=(1,4), C=(-2,-10), D=(2,2)\). Wykaż, że odcinki \(AB\) i \(CD\) są równoległe. Wyznacz środek jednokładności \(S\) i dodatnią skalę \(k\) tak, aby obrazem odcinka \(AB\) w tej jednokładności był odcinek \(CD\).
\(S=(0,6)\), \(k=2\)
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa \(a\), a krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha \). Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy i jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem \(\frac{\alpha}{2}\). Oblicz pole otrzymanego przekroju.
\(P=\frac{a^2\sqrt{3}\sin \alpha}{4\sin \frac{3}{2}\alpha }\)
W urnie I jest \(7\) czarnych kul, a w urnie II są \(3\) czarne kule. Do tych urn wkładamy losowo w sumie \(3\) kule białe. Następnie losujemy urnę i z urny jedną kulę. Oblicz, ile należy wrzucić białych kul do urny I, aby prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli z losowo wybranej urny było równe \(\frac{17}{72}\).
\(2\)
Dane jest równanie \(x^2+(2m+1)x-3m^2-\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}=0\). Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru \(m\), dla których to równanie ma dokładnie dwa różne rozwiązania mniejsze od \(4\).
\(m\in \left( \frac{5-\sqrt{133}}{4},-\frac{3}{8} \right) \cup \left( 0,\frac{5+\sqrt{133}}{4} \right)\)
W okrąg o promieniu \(R\) wpisano prostokąt \(ABCD\). Wyznacz możliwie największe pole tego prostokąta.
\(2R^2\)