Matura 2015 sierpień

Jeśli \(a=\frac{3}{2}\) i \(b=2\), to wartość wyrażenia \(\frac{a\cdot b}{a+b}\) jest równa

Dany jest prostokąt o wymiarach \(40 \text{ cm} \times 100 \text{ cm}\). Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o \(20\%\), a każdy z krótszych boków skrócimy o \(20\%\), to w wyniku obu przekształceń pole tego prostokąta

Liczba \(\frac{9^5\cdot 5^9}{45^5}\) jest równa

Liczba \(\sqrt{\frac{9}{7}}+\sqrt{\frac{7}{9}}\) jest równa

Wartość wyrażenia \(\log_50{,}04-\frac{1}{2}\log_{25}1\) jest równa

Wartość wyrażenia \((a+5)^2\) jest większa od wartości wyrażenia \((a^2+10a)\) o

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań \[\begin{cases} x+3y=-5 \\ 3x-2y=-4 \end{cases} \] Wskaż ten rysunek.

Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(2(x − 2) \le 4(x −1)+1\) jest

Rozwiązaniem równania \(x^2(x +1) = x^2−8\) jest

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{2x-8}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x \ne 0\). Wówczas wartość funkcji \(f(\sqrt{2})\) jest równa

Parabola o wierzchołku \(W = (−3, 5)\) i ramionach skierowanych w dół może być wykresem funkcji określonej wzorem

Wykres funkcji liniowej \(y = 2x − 3\) przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(y = f (x)\) ma współrzędne \((2, 2)\). Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g(x) = f(x + 2)\) ma współrzędne

Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez \(7\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba

Ciąg liczbowy określony jest wzorem \(a_n=\frac{2^n-1}{2^n+1}\), dla \(n\ge 1\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy

Sinus kąta ostrego \(\alpha \) jest równy \(\frac{3}{4}\). Wówczas

W trójkącie prostokątnym o długościach przyprostokątnych \(2\) i \(5\) cosinus większego z kątów ostrych jest równy

Pole rombu o boku \(6\) i kącie rozwartym \(150^\circ \) jest równe

W okręgu o środku \(O\) dany jest kąt o mierze \(50^\circ \), zaznaczony na rysunku. Miara kąta oznaczonego na rysunku literą \(\alpha \) jest równa

Współczynnik kierunkowy prostej, na której leżą punkty \(A = (−4,3)\) oraz \(B = (8,7)\), jest równy

Punkt \(S = (2,−5)\) jest środkiem odcinka \(AB\), gdzie \(A = (−4,3)\) i \(B = (8,b)\). Wtedy

Dany jest trójkąt prostokątny o długościach boków \(a, b, c\), gdzie \(a \lt b \lt c\). Obracając ten trójkąt wokół prostej zawierającej dłuższą przyprostokątną o kąt \(360^\circ \) otrzymujemy bryłę, której objętość jest równa

Przekątna przekroju osiowego walca, którego promień podstawy jest równy \(4\) i wysokość jest równa \(6,\) ma długość

W grupie jest \(15\) kobiet i \(18\) mężczyzn. Losujemy jedną osobę z tej grupy. Prawdopodobieństwo tego, że będzie to kobieta, jest równe

Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych od \(3000\), utworzonych wyłącznie z cyfr \(1, 2, 3\), przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?

Rozwiąż równanie \(\frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}\), gdzie \(x\ne 0\) i \(x\ne 2\).

Mamy dwa pudełka: w pierwszym znajduje się \(6\) kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od \(1\) do \(6\), a w drugim – \(8\) kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od \(1\) do \(8\). Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka i tworzymy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że numer kuli wylosowanej z pierwszego pudełka jest cyfrą dziesiątek, a numer kuli wylosowanej z drugiego – cyfrą jedności tej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo, że utworzona liczba jest podzielna przez \(11\).

Rozwiąż nierówność \(20x \ge 4x^2 + 24\).

Kąt \(\alpha \) jest ostry i spełnia równość \(\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{7}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).

Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3 + y^3 \ge x^2y + xy^2\).

W prostokącie \(ABCD\) punkt \(P\) jest środkiem boku \(BC\), a punkt \(R\) jest środkiem boku \(CD\). Wykaż, że pole trójkąta \(APR\) jest równe sumie pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\).

Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach \(A = (−2, 2)\), \(B = (6, − 2)\), \(C = (10,6)\).

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3 : 4\), a pole jest równe \(192\) (zobacz rysunek). Punkt \(E\) jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek \(SE\) jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa.

Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x) \gt 0\) jest przedział \((0,12)\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(9\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\) funkcji \(f\).