Matura 2012 sierpień

Drukuj

Poziom podstawowy

Szybka nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 .

Długość boku kwadratu \(k_2\) jest o \(10\%\) większa od długości boku kwadratu \(k_1\). Wówczas pole kwadratu \(k_2\) jest większe od pola kwadratu \(k_1\)

A.o \( 10\% \)

B.o \( 110\% \)

C.o \( 21\% \)

D.o \( 121\% \)

Iloczyn \(9^{-5}\cdot 3^8\) jest równy

A.\( 3^{-4} \)

B.\( 3^{-9} \)

C.\( 9^{-1} \)

D.\( 9^{-9} \)

Liczba \(\log_{3}27-\log_{3}1\) jest równa

A.\( 0 \)

B.\( 1 \)

C.\( 2 \)

D.\( 3 \)

Liczba \((2-3\sqrt{2})^2\) jest równa

A.\( -14 \)

B.\( 22 \)

C.\( -14-12\sqrt{2} \)

D.\( 22-12\sqrt{2} \)

Liczba \((−2)\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=mx+2\). Wtedy

A.\( m=3 \)

B.\( m=1 \)

C.\( m=-2 \)

D.\( m=-4 \)

Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności \(|x + 4| \le 7\).

Dana jest parabola o równaniu \(y=x^2+8x-14\). Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa

A.\( x=-8 \)

B.\( x=-4 \)

C.\( x=4 \)

D.\( x=8 \)

Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest \(\langle -2,+\infty )\).

Zbiorem rozwiązań nierówności \(x(x+6)\lt 0\) jest

A.\( (-6,0) \)

B.\( (0,6) \)

C.\( (-\infty ,-6)\cup (0,+\infty ) \)

D.\( (-\infty ,0)\cup (6,+\infty ) \)

Wielomian \(W(x)=x^6+x^3-2\) jest równy iloczynowi

A.\( (x^3+1)(x^2-2) \)

B.\( (x^3-1)(x^3+2) \)

C.\( (x^2+2)(x^4-1) \)

D.\( (x^4-2)(x+1) \)

Równanie \(\frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x+2)}=0\) ma

A.dokładnie jedno rozwiązanie

B.dokładnie dwa rozwiązania

C.dokładnie trzy rozwiązania

D.dokładnie cztery rozwiązania

Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=\frac{n}{(-2)^n}\) dla \(n\ge 1\). Wówczas

A.\( a_3=\frac{1}{2} \)

B.\( a_3=-\frac{1}{2} \)

C.\( a_3=\frac{3}{8} \)

D.\( a_3=-\frac{3}{8} \)

W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_1=36\), \(a_2=18\). Wtedy

A.\( a_4=-18 \)

B.\( a_4=0 \)

C.\( a_4=4{,}5 \)

D.\( a_4=144 \)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{7}{13}\). Wtedy \(\operatorname{tg} \alpha \) jest równy

A.\( \frac{7}{6} \)

B.\( \frac{7\cdot 13}{120} \)

C.\( \frac{7}{\sqrt{120}} \)

D.\( \frac{7}{13\sqrt{120}} \)

W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy

A.\( \cos \alpha = \frac{9}{11}\)

B.\( \sin \alpha = \frac{9}{11}\)

C.\( \sin \alpha = \frac{11}{2\sqrt{10}} \)

D.\( \cos \alpha = \frac{2\sqrt{10}}{11} \)

Przekątna \(AC\) prostokąta \(ABCD\) ma długość \(14\). Bok \(AB\) tego prostokąta ma długość \(6\). Długość boku \(BC\) jest równa

A.\( 8 \)

B.\( 4\sqrt{10} \)

C.\( 2\sqrt{58} \)

D.\( 10 \)

Punkty \(A\), \(B\) i \(C\) leżą na okręgu o środku \(S\) (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego \(ACB\) jest równa

A.\( 65^\circ \)

B.\( 100^\circ \)

C.\( 115^\circ \)

D.\( 130^\circ \)

Długość boku trójkąta równobocznego jest równa \(24\sqrt{3}\). Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy

A.\( 36 \)

B.\( 18 \)

C.\( 12 \)

D.\( 6 \)

Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\).

A.\( y=3x \)

B.\( y=-3x \)

C.\( y=3x+2 \)

D.\( y=\frac{1}{3}x+2 \)

Punkty \(B = (−2, 4)\) i \(C = (5, 1)\) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Pole tego kwadratu jest równe

A.\( 74 \)

B.\( 58 \)

C.\( 40 \)

D.\( 29 \)

Dany jest okrąg o równaniu \((x+4)^2+(y-6)^2=100\) . Środek tego okręgu ma współrzędne

A.\( (-4,-6) \)

B.\( (4,6) \)

C.\( (4,-6) \)

D.\( (-4,6) \)

Objętość sześcianu jest równa \(64\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe

A.\( 512 \)

B.\( 384 \)

C.\( 96 \)

D.\( 16 \)

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku \(a\). Objętość tego stożka wyraża się wzorem

A.\( \frac{\sqrt{3}}{6}\pi a^3 \)

B.\( \frac{\sqrt{3}}{8}\pi a^3 \)

C.\( \frac{\sqrt{3}}{12}\pi a^3 \)

D.\( \frac{\sqrt{3}}{24}\pi a^3 \)

Pewna firma zatrudnia \(6\) osób. Dyrektor zarabia \(8000\) zł, a pensje pozostałych pracowników są równe: \(2000\) zł, \(2800\) zł, \(3400\) zł, \(3600\) zł, \(4200\) zł. Mediana zarobków tych \(6\) osób jest równa

A.\( 3400 \) zł

B.\( 3500 \) zł

C.\( 6000 \) zł

D.\( 7000 \) zł

Ze zbioru \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(4\). Wówczas

A.\( p\lt \frac{1}{5} \)

B.\( p=\frac{1}{5} \)

C.\( p=\frac{1}{4} \)

D.\( p>\frac{1}{4} \)

Rozwiąż nierówność \(x^2-8x+7\ge 0\).

\(x\in (-\infty ;1\rangle \cup \langle 7;+\infty )\)

Rozwiąż równanie \(x^3-6x^2-9x+54=0\).

\(x=-3\), \(x=3\), \(x=6\)

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(3\), czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(15\). Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.

\(78\)

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) dane są \(|AC| = |BC| = 6\) i \(|\sphericalangle ACB|=30^\circ \) (zobacz rysunek). Oblicz wysokość \(AD\) trójkąta opuszczoną z wierzchołka \(A\) na bok \(BC\).

\(h=3\)

Dany jest równoległobok \(ABCD\). Na przedłużeniu przekątnej \(AC\) wybrano punkt \(E\) tak, że \(|CE|=\frac{1}{2}|AC|\). Uzasadnij, że pole równoległoboku \(ABCD\) jest cztery razy większe od pola trójkąta \(DCE\).

Wykaż, że jeżeli \(c\lt 0\), to trójmian kwadratowy \(y=x^2+bx+c\) ma dwa różne miejsca zerowe.

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\) oraz \(A = (2, 1)\) i \(C = (1, 9)\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta jest zawarta w prostej \(y=\frac{1}{2}x\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\).

\(B=\left( \frac{34}{5}, \frac{34}{10} \right)\)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) i wierzchołku \(S\) trójkąt \(ACS\) jest równoboczny i ma bok długości \(8\). Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).

\(\sin \alpha =\frac{\sqrt{42}}{7}\)

Kolarz pokonał trasę \(114\) km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o \(9{,}5\) km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o \(2\) godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.

\(v=28{,}5\) km/h