Matura 2011 maj

Drukuj

Poziom podstawowy

Poziom rozszerzony:

Szybka nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 .

Wskaż nierówność, którą spełnia liczba \(\pi \)

A.\( |x+1|>5 \)

B.\( |x-1|\lt 2 \)

C.\( \left |x+\frac{2}{3} \right |\le 4 \)

D.\( \left |x-\frac{1}{3} \right |\ge 3 \)

Pierwsza rata, która stanowi \(9\%\) ceny roweru, jest równa \(189\) zł. Rower kosztuje

A.\( 1701 \) zł

B.\( 2100 \) zł

C.\( 1890 \) zł

D.\( 2091 \) zł

Wyrażenie \(5a^2-10ab+15a\) jest równe iloczynowi

A.\( 5a^2(1-10b+3) \)

B.\( 5a(a-2b+3) \)

C.\( 5a(a-10b+15) \)

D.\( 5(a-2b+3) \)

Układ równań \(\begin{cases} 4x+2y=10\\ 6x+ay=15 \end{cases} \) ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli

A.\( a=-1 \)

B.\( a=0 \)

C.\( a=2 \)

D.\( a=3 \)

Rozwiązanie równania \(x(x+3)-49=x(x-4)\) należy do przedziału

A.\( (-\infty ,3) \)

B.\( (10,+\infty ) \)

C.\( (-5,-1) \)

D.\( (2,+\infty ) \)

Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności \(\frac{3}{8}+\frac{x}{6}\lt \frac{5x}{12}\) jest

A.\( 1 \)

B.\( 2 \)

C.\( -1 \)

D.\( -2 \)

Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności: \(3(x - 1)(x - 5) \le 0\) i \(x > 1\).

Wyrażenie \(\log_4(2x - 1)\) jest określone dla wszystkich liczb \(x\) spełniających warunek

A.\( x\le \frac{1}{2} \)

B.\( x>\frac{1}{2} \)

C.\( x\le 0 \)

D.\( x>0 \)

Dane są funkcje liniowe \(f(x)=x-2\) oraz \(g(x)=x+4\) określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\)

Funkcja liniowa określona jest wzorem \(f(x) = -\sqrt{2}x + 4\). Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

A.\( -2\sqrt{2} \)

B.\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

C.\( -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

D.\( 2\sqrt{2} \)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\), w którym \(a_3=1\) i \(a_4=\frac{2}{3}\). Wtedy

A.\( a_1=\frac{2}{3} \)

B.\( a_1=\frac{4}{9} \)

C.\( a_1=\frac{3}{2} \)

D.\( a_1=\frac{9}{4} \)

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\) o wyrazach dodatnich. Wtedy

A.\( a_4+a_7=a_{10} \)

B.\( a_4+a_6=a_3+a_8 \)

C.\( a_2+a_9=a_3+a_8 \)

D.\( a_5+a_7=2a_8 \)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\cos \alpha =\frac{5}{13}\). Wtedy

A.\( \sin \alpha =\frac{12}{13} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{5}\)

B.\( \sin \alpha =\frac{12}{13} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{5}{12}\)

C.\( \sin \alpha =\frac{12}{5} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{13}\)

D.\( \sin \alpha =\frac{5}{12} \) oraz \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{12}{13}\)

Wartość wyrażenia \(\frac{\sin^2 38^\circ +\cos^2 38^\circ -1}{\sin^2 52^\circ +\cos^2 52^\circ +1}\) jest równa

A.\( \frac{1}{2} \)

B.\( 0 \)

C.\( -\frac{1}{2} \)

D.\( 1 \)

W prostopadłościanie \(ABCDEFGH\) mamy: \(|AB| = 5, |AD| = 4, |AE| = 3\). Który z odcinków \(AB, BG, GE, EB\) jest najdłuższy?

A.\( AB \)

B.\( BG \)

C.\( GE \)

D.\( EB \)

Punkt \(O\) jest środkiem okręgu. Kąt wpisany \(\alpha \) ma miarę

A.\( 80^\circ \)

B.\( 100^\circ \)

C.\( 110^\circ \)

D.\( 120^\circ \)

Wysokość rombu o boku długości \(6\) i kącie ostrym \(60^\circ\) jest równa

A.\( 3\sqrt{3} \)

B.\( 3 \)

C.\( 6\sqrt{3} \)

D.\( 6 \)

Prosta \(k\) ma równanie \(y=2x-3\). Wskaż równanie prostej \(l\) równoległej do prostej \(k\) i przechodzącej przez punkt \(D\) o współrzędnych \((-2,1)\).

A.\( y=-2x+3 \)

B.\( y=2x+1 \)

C.\( y=2x+5 \)

D.\( y=-x+1 \)

Styczną do okręgu \((x - 1)^2 + y^2 - 4 = 0\) jest prosta równaniu

A.\( x=1 \)

B.\( x=3 \)

C.\( y=0 \)

D.\( y=4 \)

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(54\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

A.\( \sqrt{6} \)

B.\( 3 \)

C.\( 9 \)

D.\( 3\sqrt{3} \)

Objętość stożka o wysokości \(8\) i średnicy podstawy \(12\) jest równa

A.\( 124\pi \)

B.\( 96\pi \)

C.\( 64\pi \)

D.\( 32\pi \)

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi

A.\( \frac{1}{6} \)

B.\( \frac{1}{9} \)

C.\( \frac{1}{12} \)

D.\( \frac{1}{18} \)

Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: „Ile osób liczy twoja rodzina?” Wyniki przedstawiono w tabeli:

Liczba osób w rodzinie	Liczba uczniów
\(3\)	\(6\)
\(4\)	\(12\)
\(x\)	\(2\)

Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa \(4\). Wtedy liczba \(x\) jest równa

A.\( 3 \)

B.\( 4 \)

C.\( 5 \)

D.\( 7 \)

Rozwiąż nierówność \(3x^2-10x+3\le 0\).

\(x\in \left\langle \frac{1}{3}; 3 \right\rangle \)

Uzasadnij, że jeżeli \(a + b = 1\) i \(a^2 + b^2 = 7\), to \(a^4 + b^4 = 31\).

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Odczytaj z wykresu i zapisz:

zbiór wartości funkcji \(f\),
przedział maksymalnej długości, w którym \(f\) jest malejąca.

a) \(\langle -2;3 \rangle \)
b) \(\langle -2;2 \rangle \)

Liczby \(x, y, 19\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym \(x+y=8\). Oblicz \(x\) i \(y\).

\(x=-1\), \(y=9\)

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\cos \alpha \cdot \sin \alpha \).

\(\frac{1}{2}\)

Dany jest czworokąt \(ABCD\), w którym \(AB \parallel CD\). Na boku \(BC\) wybrano taki punkt \(E\), że \(|EC|=|CD|\) i \(|EB|=|BA|\). Wykaż, że kąt \(AED\) jest prosty.

Ze zbioru liczb \(\{1 ,2, 3,..., 7\}\) losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez \(3\).

\(\frac{16}{49}\)

Okrąg o środku w punkcie \(S=(3,7)\) jest styczny do prostej o równaniu \(y=2x-3\). Oblicz współrzędne punktu styczności.

\(\left(\frac{23}{5}; \frac{31}{5}\right)\)

Pewien turysta pokonał trasę \(112\) km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o \(3\) dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o \(12\) km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

\(28\) km

Punkty \(K\), \(L\) i \(M\) są środkami krawędzi \(BC\), \(GH\) i \(AE\) sześcianu \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(1\) (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta \(KLM\).

\(\frac{3\sqrt{3}}{8}\)