W tym materiale omawiam wszystkie najważniejsze wiadomości dotyczące potęg wymagane na egzaminie ósmoklasisty. Poniżej znajdują się ćwiczenia z lekcji, a na samym dole jest film z omówieniem tych przykładów.
Definicja Potęgi
\[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot...\cdot a}_{n \text{ razy}}\] Ćwiczenie 1.
Oblicz potęgi: \(3^2\), \(3^3\), \(3^4\), \(7^1\), \(7^0\).
Ćwiczenie 2.
Zapisz w postaci potęgi, a następnie oblicz:
- czwartą potęgę liczby \(5\),
- siódmą potęgę liczby \(\frac{1}{2}\),
- potęgę o podstawie \(-4\) i wykładniku \(3\).
- potęgę o podstawie \(-1,1\) i wykładniku \(2\).
- potęgę o podstawie \(\frac{1}{3}\) i wykładniku \(5\).
Ćwiczenie 3.
Oblicz:
- \((-3)^4=\)
- \(-3^4=\)
- \(\left(-2\frac{1}{2}\right)^2=\)
- \(\left(1\frac{7}{6}\right)^0=\)
- \(10^5=\)
- \((0,1)^5=\)
Potęgi o tych samych podstawach
\[a^m\cdot a^n=a^{m+n}\] \[a^m\cdot a^n=\underbrace{\underbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}_{m \text{ razy}}\cdot \underbrace{a\cdot a\cdot ...\cdot a}_{n \text{ razy}}}_{m+n \text{ razy}}=a^{m+n}\] \[a^m:a^n=\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\] Ćwiczenie 4.
Zapisz w postaci jednej potęgi:
- \(2^3\cdot 2^4=\)
- \(3^5\cdot 3^6=\)
- \(\left(\frac{2}{7}\right)^{10}\cdot \left(\frac{2}{7}\right)^8=\)
- \(7^5 : 7^2=\)
- \(10^8:10^{5}=\)
Podnoszenie potęgi do potęgi
\[{\bigl(a^m\bigl)}^n=a^{m\cdot n}\] Ćwiczenie 5.
Zapisz w postaci potęgi:
- \(\bigl(2^3\bigl)^4=\)
- \(\bigl(3^5\bigl)^7=\)
- \(\bigl((-5)^3\bigl)^6=\)
- \(\bigl(17^{19}\bigl)^3:17^{55}=\)
- \(\frac{\bigl((-2)^3\bigl)^5\cdot (-2)^6}{\bigl((-2)^2\bigl)^2}=\)
Potęgi o tych samych wykładnikach
\[ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n \] \[a^n:b^n=\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\] Ćwiczenie 6.
Zapisz w postaci potęgi:
- \(2^5\cdot 3^5=\)
- \(8^7\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^7=\)
- \(10^{15}:5^{15}=\)
- \(\frac{9^7}{3^7}=\)
Ćwiczenie 7.
Zapisz w postaci potęgi:
- \(4^5\cdot 7^{10}=\)
- \(8^7\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{21}=\)
- \(25^{12}:27^{8}=\)
- \(\frac{3^8\cdot 6^8}{4^4}=\)
Ćwiczenie 8.
Zapisz w postaci potęgi:
- \((5^7:5^4\cdot 5^5):(5^{10}\cdot 5^0)=\)
- \(\frac{(7^2\cdot 7^0)^3}{7\cdot 7^2:(49^{6}:7^{11})}=\)
- \(\frac{100^8:4^8}{5^{12}}=\)
- \(36^{11}\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{22}:2^9=\)
Notacja wykładnicza
\[a\cdot 10^n\] gdzie:
\(a\) - to liczba rzeczywista z przedziału \(\langle 1,10)\),
\(n\) - to liczba całkowita. Ćwiczenie 9.
Zapisz w postaci wykładniczej:
- \(800=\)
- \(13\ 000=\)
- \(171\ 000\ 000=\)
- \(0,00001=\)
- \(0,00023=\)
- \(0,0000723=\)
Ćwiczenie 10.
Zapisz w postaci wykładniczej:
- \(7\cdot 10^{13}+5\cdot 10^{13}=\)
- \((3\cdot 10^7)\cdot (2\cdot 10^{15})=\)
- \((5\cdot 10^{10})^3=\)
- \((6,5\cdot 10^{-4})\cdot (2\cdot 10^{-7})=\)
- \(\frac{4^7+4^7+4^7+4^7}{2^8}\cdot 4=\)
- \((4,8\cdot 10^{11}):(0,8\cdot 10^{-13})=\)
Zadanie 1. (1 pkt)
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Iloraz \(\frac{20^7}{4^7}\) jest równy
A
B
.
Iloczyn \(4^7\cdot 6^{14}\) jest równy
C
D
C.\( 24^{23} \)
D.\( 12^{14} \)
Zadanie 2. (1 pkt)
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
| Iloczyn \(8 \cdot 4^{3}\) jest równy wartości wyrażenia \(2^{9}\). | P | F |
| Wyrażenie \(\frac{3^{3} \cdot 3^{4}}{3^{5}}\) można zapisać w postaci \(3^{6}\). | P | F |
Zadanie 3. (1 pkt)
Liczba \((20\ 000)^3\) jest równa
A.\( 2\cdot 10^{12} \)
B.\( 8\cdot 10^{12} \)
C.\( 20\cdot 10^{6} \)
D.\( 20\cdot 10^{12} \)
Zadanie 4. (2 pkt)
Ziemia ma masę \(5,97\cdot 10^{24}\) kg, a Księżyc ma masę \(7\cdot 10^{22}\) kg.
- Jaka jest łączna masa Ziemi i Księżyca?
- Ile razy Ziemia jest cięższa od Księżyca?