Ekstrema lokalne funkcji
Poziom rozszerzony
Ekstremum lokalne funkcji - to najmniejsza lub największa wartość przyjmowana lokalnie (czyli na określonym przedziale) przez funkcję.
Definicja
Niech funkcja \(f\) będzie określona w przedziale \((a,b)\) oraz \(x_0\in (a,b)\). Wówczas:- funkcja \(f\) ma w punkcie \(x_0\) maksimum lokalne \(f(x_0)\) jeżeli dla każdego \(x\in (a,b)\) zachodzi: \(f(x)\lt f(x_0)\),
- funkcja \(f\) ma w punkcie \(x_0\) minimum lokalne \(f(x_0)\) jeżeli dla każdego \(x\in (a,b)\) zachodzi: \(f(x)\gt f(x_0)\).
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji \(f\). 
Ma ona dwa ekstrema lokalne:
Ma ona dwa ekstrema lokalne: - maksimum lokalne \(f(x_1)\) przyjmowane w punkcie \(x_1\),
- minimum lokalne \(f(x_2)\) przyjmowane w punkcie \(x_2\).
Warunek koniczny istnienia ekstremum
Jeżeli funkcja \(f\) ma pochodną w punkcie \(x_0\) i osiąga w tym punkcie ekstremum, to: \[f'(x_0)=0\] Zerowanie się pochodnej w ekstremum funkcji oznacza, że styczna do wykresu funkcji w tym punkcie jest równoległa do osi \(x\)-ów.
Uwaga
Zerowanie się pochodnej jest warunkiem koniecznym istnienia ekstremum, ale nie wystarczającym! Funkcja kwadratowa \(f(x)=(x-2)^2+1\) osiąga minimum równe \(1\) w punkcie \(x_0=2\). 
Pochodna \(f'(x)=2(x-2)\) zeruje się dla \(x=2\) i w tym punkcie zmienia znak z ujemnego na dodatni, dlatego mamy minimum.
Pochodna \(f'(x)=2(x-2)\) zeruje się dla \(x=2\) i w tym punkcie zmienia znak z ujemnego na dodatni, dlatego mamy minimum. Funkcja kwadratowa \(f(x)=-(x-1)^2+5\) osiąga maksimum równe \(5\) w punkcie \(x_0=1\). 
Pochodna \(f'(x)=-2(x-1)\) zeruje się dla \(x=1\) i w tym punkcie zmienia znak z dodatniego na ujemny, dlatego mamy maksimum.
Pochodna \(f'(x)=-2(x-1)\) zeruje się dla \(x=1\) i w tym punkcie zmienia znak z dodatniego na ujemny, dlatego mamy maksimum. Funkcja wielomianowa \(f(x)=(x+1)^3+2\) nie ma ekstremum lokalnego, mimo że pochodna zeruje się w punkcie \(x_0=-1\). 
Pochodna \(f'(x)=3(x+1)^2\) zeruje się dla \(x=-1\), ale w tym punkcie nie zmienia znaku (cały czas \(f'(x)\geqslant 0)\) i dlatego nie ma ekstremum lokalnego.
Pochodna \(f'(x)=3(x+1)^2\) zeruje się dla \(x=-1\), ale w tym punkcie nie zmienia znaku (cały czas \(f'(x)\geqslant 0)\) i dlatego nie ma ekstremum lokalnego. Warunek wystarczający istnienia ekstremum
Niech funkcja \(f\) ma pochodną w przedziale \((a,b)\) oraz \(x_0\in (a,b)\). Wówczas- funkcja \(f\) ma ekstremum maksimum w \(x_0 \Leftrightarrow \) \(f'(x_0)=0\) oraz \(f'\) zmienia znak z \(+\) na \(-\) w \(x_0\).
- funkcja \(f\) ma ekstremum minimum w \(x_0 \Leftrightarrow \) \(f'(x_0)=0\) oraz \(f'\) zmienia znak z \(-\) na \(+\) w \(x_0\).
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji \(f(x)=2x^3-x^4\).
Liczymy pochodną: \[f'(x)=6x^2-4x^3\] Szukamy miejsc zerowych pochodnej: \[6x^2-4x^3=0\\[6pt] 2x^2(3-2x)=0\\[6pt] x=0\quad \lor \quad x=\frac{3}{2}\] W tym momencie wiemy, że ekstrema lokalne mogą wystąpić tylko dla \(x=0\) lub \(x=\frac{3}{2}\). Aby sprawdzić czy w tych punktach są ekstrema lokalne, to musimy sprawdzić czy pochodna tam zmienia znak.
Rysujemy wykres pochodnej:
Rysujemy wykres pochodnej:
Dla \(x=0\) pochodna nie zmienia znaku, dlatego w tym punkcie funkcja \(f(x)\) nie ma ekstremum lokalnego.
W punkcie \(x=\frac{3}{2}\) pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, zatem funkcja \(f(x)\) ma w tym punkcie ekstremum maksimum.
W punkcie \(x=\frac{3}{2}\) pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, zatem funkcja \(f(x)\) ma w tym punkcie ekstremum maksimum.
Dla \(x\lt\frac{3}{2}\) pochodna ma wartości dodatnie, czyli na tym przedziale funkcja \(f(x)\) rośnie.
Poniżej na jednym rysunku wykres funkcji \(f(x)\) oraz pochodnej \(f'(x)\). Dla \(x\gt\frac{3}{2}\) pochodna ma wartości ujemne, czyli na tym przedziale funkcja \(f(x)\) maleje.
Dla \(x=\frac{3}{2}\) zmienia się monotoniczność funkcji z rosnącej na malejącą i mamy ekstremum maksimum. Wyznacz ekstrema funkcji \(f\).
\(f(x)=\frac{1}{6}x^3-2x-1\)
\(f(x)=x^4-4x^3+4x^2\)
\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)
Wyznacz przedziały monotoniczności oraz ekstrema funkcji \(f\).
\(f(x)=\frac{2}{x^2-2x}\)
\(f(x)=\frac{5-x^2}{x+3}\)
\(f(x)=\frac{x^2}{|x|-1}\)
Funkcja \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+2\) ma maksimum w punkcie
A.\( x=-2 \)
B.\( x=0 \)
C.\( x=2 \)
D.\( x=4 \)