Długość odcinka w układzie współrzędnych

Drukuj

Poziom podstawowy

Twierdzenie

Długość odcinka o końcach w punktach \(A=(x_1,y_1)\) oraz \(B=(x_2,y_2)\) wyraża się wzorem: \[|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego \(ABC\) mamy:

\[\begin{split} |AB|^2&=|AC|^2+|BC|^2\\[6pt] |AB|&=\sqrt{|AC|^2+|BC|^2}\\[6pt] |AB|&=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \end{split}\]

Oblicz długość odcinka \(AB\), gdzie \(A=(1,2)\), \(B=(3,7)\).

\[|AB|=\sqrt{(3-1)^2+(7-2)^2}=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}\]

\[\begin{split}|AB|&=\sqrt{(3-1)^2+(7-2)^2}=\\[6pt] &=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}\end{split}\]

Oblicz odległość między punktami \(A=(3,0)\), \(B=(-1,-3)\).

\[|AB|=\sqrt{(-1-3)^2+(-3-0)^2}=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\]

\[ \begin{split} |AB|&=\sqrt{(-1-3)^2+(-3-0)^2}=\\[6pt] &=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\\[6pt] &=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \end{split} \]

Dane są punkty \(P=(-2,-2)\), \(Q=(3,3)\). Odległość punktu \(P\) od punktu \(Q\) jest równa

A.\( 1 \)

B.\( 5 \)

C.\( 5\sqrt{2} \)

D.\( 2\sqrt{5} \)

Długość odcinka \( AB \), którego wierzchołki mają współrzędne \( A=(-3,-2) \) i \( B=(-1,4) \), jest równa

A.\(2\sqrt{5} \)

B.\(2\sqrt{10} \)

C.\(4\sqrt{2} \)

D.\(\sqrt{41} \)

Dane są punkty \(A=(1,-4)\) i \(B=(2,3)\). Odcinek \(AB\) ma długość

A.\( 1 \)

B.\( 4\sqrt{3} \)

C.\( 5\sqrt{2} \)

D.\( 7 \)

Na okręgu o środku \(S=(-6,1)\) leży punkt \(A=(-2,4)\). Promień tego okręgu jest równy

A.\(5\)

B.\(7\)

C.\(\sqrt{73}\)

D.\(\sqrt{7}\)

Punkty \(B = (−2, 4)\) i \(C = (5, 1)\) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Pole tego kwadratu jest równe

A.\( 74 \)

B.\( 58 \)

C.\( 40 \)

D.\( 29 \)

Punkty \( A=(-1,3)\) i \(C=(7,9) \) są przeciwległymi wierzchołkami prostokąta \( ABCD \). Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy

A.\(10 \)

B.\(6\sqrt{2} \)

C.\(5 \)

D.\(3\sqrt{2} \)

Punkty \(A=(1,-2)\), \(C=(4,2)\) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Wysokość tego trójkąta jest równa

A.\( \frac{5\sqrt{3}}{2} \)

B.\( \frac{5\sqrt{3}}{3} \)

C.\( \frac{5\sqrt{3}}{6} \)

D.\( \frac{5\sqrt{3}}{9} \)

Punkty \(A=(-3,-1)\), \(B=(2,5)\) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Pole tego trójkąta jest równe

A.\( \frac{\sqrt{183}}{2} \)

B.\( \frac{61\sqrt{3}}{2} \)

C.\( \frac{61\sqrt{3}}{4} \)

D.\( \frac{11\sqrt{3}}{4} \)

Punkty \(B=(0,0)\), \(C=(3,0)\) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego \(ABC\). Obwód tego trójkąta jest równy

A.\( 3 \)

B.\( 9 \)

C.\( \frac{3\sqrt{3}}{2} \)

D.\( \frac{9\sqrt{3}}{4} \)

Punkty \( A=(-1,2) \) i \( B=(2,6) \) są wierzchołkami kwadratu \( ABCD \). Pole tego kwadratu jest równe:

A.\(17 \)

B.\(65 \)

C.\(25 \)

D.\(7 \)

Dany jest okrąg o środku \(S=(−6,−8)\) i promieniu \(2014\). Obrazem tego okręgu w symetrii osiowej względem osi \(Oy\) jest okrąg o środku w punkcie \(S_1\). Odległość między punktami \(S\) i \(S_1\) jest równa

A.\( 12 \)

B.\( 16 \)

C.\( 2014 \)

D.\( 4028 \)

Punkty \(E = (7,1)\) i \(F = (9,7)\) to środki boków, odpowiednio \(AB\) i \(BC\) kwadratu \(ABCD\). Przekątna tego kwadratu ma długość

A.\( 4\sqrt{5} \)

B.\( 10 \)

C.\( 4\sqrt{10} \)

D.\( 20 \)