Definicja funkcji

Weźmy dwa zbiory:

• Zbiór chłopców, do którego należą: Adam, Bartek i Czarek.
• Zbiór przedmiotów: piłkę, książkę i odtwarzacz mp3.

Możemy każdemu chłopcu przyporządkować dokładnie jeden przedmiot, np. w taki sposób jak na grafie: Takie przyporządkowanie nazywamy funkcją.
Powiemy, że:

• funkcja \(f\) przyporządkowuje Adamowi książkę,
• funkcja \(f\) przyporządkowuje Bartkowi piłkę,
• funkcja \(f\) przyporządkowuje Czarkowi odtwarzacz mp3.

Możemy zapisać krócej:

• \(f(\text{Adam}) = \text{książka}\),
• \(f(\text{Bartek}) = \text{piłka}\),
• \(f(\text{Czarek}) = \text{odtwarzacz mp3}\).

Powyższą funkcję możemy przedstawić w tabeli:

Chłopiec	Adam	Bartek	Czarek
Otrzymany przedmiot	książka	piłka	odtwarzacz mp3

• Dziedziną tej funkcji jest zbiór \(X=\{\text{Adam}, \text{Bartek}, \text{Czarek}\}\).
• Przeciwdziedziną jest zbiór \(Y=\{\text{książka}, \text{piłka}, \text{odtwarzacz mp3}\}\).
• Zbiorem wartości jest cały zbiór \(Y\).

Rozważmy funkcję \(f\) przyporządkowująca dowolnemu słowu pierwszą literę tego słowa. Oto przykład działania tej funkcji na kilku różnych słowach: \[f(\text{Adam}) = \text{A}\] \[f(\text{Bartek}) = \text{B}\] \[f(\text{Czarek}) = \text{C}\] \[f(\text{dom}) = \text{d}\] \[f(\text{zebra}) = \text{z}\] \[f(\text{zegarek}) = \text{z}\] Graficzna ilustracja funkcji: Tabela:

Słowo	Adam	Bartek	Czarek	dom	zebra	zegarek
Pierwsza litera	A	B	C	d	z	z

Na grafie i w tabeli pokazaliśmy tylko przykład działania tej funkcji na wybranych słowach. Sama funkcja została określona na zbiorze wszystkich możliwych słów, czyli możemy zapisać, że:

• Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich słów.
• Przeciwdziedziną jest zbiór wszystkich liter.
• Zbiorem wartości jest zbiór wszystkich liter, na które zaczyna się przynajmniej jedno słowo.

Rozważmy funkcję \(f\) przyporządkowującą każdemu słowu ze zbioru \[X=\{\text{Adam}, \text{Bartek}, \text{Czarek}, \text{dom}, \text{zebra}, \text{zegarek}\}\] liczbę liter z których składa się dane słowo.
W tym przypadku działanie funkcji będzie następujące:
\[f(\text{Adam}) = 4\] \[f(\text{Bartek}) = 6\] \[f(\text{Czarek}) = 6\] \[f(\text{dom}) = 3\] \[f(\text{zebra}) = 5\] \[f(\text{zegarek}) = 7\] Graficzna ilustracja funkcji: Tabela:

Słowo	Adam	Bartek	Czarek	dom	zebra	zegarek
Liczba liter	4	6	6	3	5	7

• Dziedziną tej funkcji jest zbiór \(X=\{\text{Adam}, \text{Bartek}, \text{Czarek}, \text{dom}, \text{zebra}, \text{zegarek}\}\).
• Zbiorem wartości jest zbiór \(\{3,4,5,6,7\}\).

Obliczmy wartości tej funkcji dla wszystkich argumentów: \[ \begin{split} &f(-2)=(-2)^2=4\\[6pt] &f(-1)=(-1)^2=1\\[6pt] &f(0)=0^2=0\\[6pt] &f(1)=1^2=1\\[6pt] &f(2)=2^2=4\\[6pt] \end{split} \] Graf dla tej funkcji to: Tabela:

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(f(x)\)	\(4\)	\(1\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)

Wzór: \[f(x)=x^2\] Wykres w układzie współrzędnych:

• Dziedziną tej funkcji jest zbiór \(X=\{-2,-1,0,1,2\}\).
• Przeciwdziedziną tej funkcji jest zbiór \(Y=\{0,1,2,3,4\}\).
• Zbiorem wartości jest zbiór \(\{0,1,4\}\).

Najpierw zapiszemy wzór tej funkcji: \[f(x)=\frac{1}{x}\] Teraz możemy obliczyć kilka przykładowych wartości funkcji: \[ \begin{split} &f\left(\frac{1}{3}\right)=3\\[6pt] &f\left(\frac{1}{2}\right)=2\\[6pt] &f(1)=1\\[6pt] &f(2)=\frac{1}{2}\\[6pt] &f(3)=\frac{1}{3}\\[6pt] &f(4)=\frac{1}{4}\\[6pt] \end{split} \] Możemy sporządzić tabelkę dla wybranych argumentów:

\(x\)	\(\frac{1}{3}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)\)	\(3\)	\(2\)	\(1\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{3}\)

Oraz narysować wykres: Na wykresie zaznaczyłem pięć punktów, które wcześniej wyliczyliśmy i wypisaliśmy w tabeli. Dzięki takim wcześniejszym wyliczeniom łatwiej jest narysować wykres funkcji, ponieważ wiadomo, przez jakie punkty musi przechodzić.

• Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich, czyli \(X=\mathbb{R}_+\).
• Zbiorem wartości jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich, czyli \(\mathbb{R}_+\).