Poziom podstawowy
Definicja
Ciąg geometryczny \((a_n)\) - to taki ciąg liczbowy, w którym każda kolejna liczba powstaje przez pomnożenie poprzedniej liczby przez \(q\). Czyli dla dowolnego \(n\in \mathbb{N}_+\) zachodzi: \[a_{n+1}=a_n\cdot q\] Liczbę \(q\) nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego. Przykłady ciągów geometrycznych:
\(3,6,12,24,...\) - ciąg geometryczny rosnący o ilorazie \(q=2\).
\(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{9}{2}, -\frac{27}{2},...\) - ciąg geometryczny o ilorazie \(q=-3\).
\(10,2,\frac{2}{5},\frac{2}{25},...\) - ciąg geometryczny malejący o ilorazie \(q=\frac{1}{5}\).
\(5,5,5,5,...\) - ciąg geometryczny stały o ilorazie \(q=1\).
Najważniejsze wzory
Niech będzie dany ciąg geometryczny \((a_n)\). Wtedy zachodzą następujące wzory:
Wzór na \(n\)-ty wyraz: \[a_n=a_1\cdot q^{n-1}\] lub \[a_n=a_k\cdot q^{n-k}\] Jeśli liczby \(a,b,c\) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny, to zachodzi wzór: \[b^2=a\cdot c\]
Wzór na sumę \(n\) wyrazów ciągu: \[S_n=\begin{cases} a_1\cdot \dfrac{1-q^n}{1-q}\quad \text{dla } q\ne 1\\ a_1\cdot n\quad \text{ dla } q = 1 \end{cases} \]
Dla ciągu geometrycznego \(a_n=5\cdot 2^n\) wypisz kilka początkowych wyrazów i oblicz iloraz ciągu geometrycznego oraz wyraz \(a_{10}\).
Wypisujemy początkowe wyrazy: \[10, 20, 40,...\] Iloraz ciągu geometrycznego to: \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{20}{10}=2\] Teraz obliczamy wyraz dziesiąty: \[a_{10}=5\cdot 2^{10}=5120\]
Podaj iloraz ciągu geometrycznego \(\frac{3}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{12},...\) i wypisz dwa jego kolejne wyrazy. Określ monotoniczność tego ciągu.
Obliczamy iloraz ciągu geometrycznego: \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}\] Teraz możemy obliczyć dwa kolejne wyrazy: \[a_4=a_3\cdot q=\frac{1}{12}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{36}\] \[a_5=a_4\cdot q=\frac{1}{36}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{108}\] Iloraz \(q\) ciągu jest liczbą z przedziału \((0,1)\). W takiej sytuacji ciąg geometryczny jest malejący.
Oblicz dziesiąty wyraz ciągu geometrycznego \((a_n)\), jeśli \(a_1=5\) oraz \(q=-2\).
\[ \begin{split} & a_1=5 \\ & a_2=5\cdot (-2)=-10 \\ & a_3=5\cdot (-2)^2=-20 \\ & a_4=5\cdot (-2)^3=40 \\ & \quad \vdots \\ & a_{10}=5\cdot (-2)^9=-2560 \end{split} \] Aby otrzymać wyraz \(a_{10}\) ciągu geometrycznego, skorzystaliśmy ze zależności: \(a_{10} = a_1\cdot q^{10-1}\) (jest to wzór ogólny ciągu geometrycznego).
Wzór ogólny ciągu geometrycznego \((a_n)\) ma postać: \[a_n=a_1\cdot q^{n-1}\] gdzie:
\(a_1\) - to pierwszy wyraz ciągu,
\(q\) - iloraz ciągu
Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego \(4,2,1,...\). Oblicz \(5\)-ty wyraz tego ciągu.
Jest to ciąg o pierwszym wyrazie \(a_1=4\) i ilorazie: \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\] Zatem wzór ogólny ma postać: \[a_n=a_1\cdot q^{n-1}=4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\] Teraz możemy obliczyć \(5\)-ty wyraz tego ciągu: \[a_{5}=4\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5-1}=\frac{1}{4}\]
Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego \(5,-15,45,...\). Oblicz \(6\)-ty wyraz tego ciągu.
Jest to ciąg o pierwszym wyrazie \(a_1=5\) i ilorazie: \[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-15}{5}=-3\] Zatem wzór ogólny ma postać: \[a_n=a_1\cdot q^{n-1}=5\cdot (-3)^{n-1}\] Teraz możemy obliczyć \(6\)-ty wyraz tego ciągu: \[a_{6}=5\cdot (-3)^{6-1}=-5\cdot 3^5\]
Monotoniczność ciągu geometrycznego
Ciąg geometryczny \((a_n)\) o ilorazie \(q\) jest:
- rosnący, gdy \(q\gt 1\),
- malejący, gdy \(q\in (0,1)\),
- stały, gdy \(q= 1\).
Zbadaj monotoniczność ciągu geometrycznego \(a_n=3^n\).
Obliczamy dwa dowolne, kolejne wyrazy ciągu \((a_n)\), np: \[a_1=3^1=3\] \[a_2=3^2=9\] Teraz obliczamy iloraz: \[q=\frac{a_2}{a_1}=3\] Iloraz jest większy od \(1\), zatem ciąg \((a_n)\) jest rosnący.
Twierdzenie
Jeżeli trzy kolejne liczy \(a, b, c\) tworzą ciąg geometryczny, to zachodzi: \[b^2=a\cdot c\] Oblicz \(x\) jeżeli liczby \(3,x,5\) tworzą ciąg geometryczny.
Skoro liczby tworzą ciąg geometryczny, to zachodzi: \[x^2=3\cdot 5\\[6pt] x^2=15\\[6pt] x=\sqrt{15}\quad \lor \quad x=-\sqrt{15}\]
Oblicz \(x\) jeżeli liczby \(x, x+1, x+3\) tworzą ciąg geometryczny.
Liczby tworzą ciąg geometryczny, zatem: \[\begin{split} (x+1)^2&=x\cdot (x+3)\\[6pt] x^2+2x+1&=x^2+3x\\[6pt] x&=1 \end{split}\]
W tym nagraniu wideo omawiam najważniejsze wiadomości dotyczące ciągu geometrycznego.
Czas nagrania: 40 min.
Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego
a)
\(6,\ \ 12,\ \ 24,...\)
c)
\(\frac{2}{5},\ \ \frac{1}{2},\ \ \frac{5}{8},...\)
d)
\(22,\ \ 2{,}2,\ \ 0{,}22,...\)
Wyznacz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego \(a_1\), wiedząc, że:
b)
\(q=\frac{1}{2},\ a_{13}=\frac{1}{8192};\)
c)
\(q=-\frac{2}{3},\ a_6=\frac{32}{27};\)
Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego \(q\), wiedząc, że:
a)
\(a_1=6, a_5=\frac{2}{27};\)
b)
\(a_1=-1, a_{10}=-512;\)
c)
\(a_1=100, a_5=65{,}61;\)
d)
\(a_1=0{,}5, a_6=512;\)